题目
$($ 晋中市 $ 2018 $ 年 $ 1 $ 月高考适应性调研考试理科第 $16$ 题 $)$已知 $ overrightarrow {OP},overrightarrow {OQ} $ 是不共线向量，设 $ overrightarrow {OM}=dfrac{1}{m+1}overrightarrow {OP}+dfrac{m}{m+1}overrightarrow {OQ} $ .定义点集 $$ A=left{ Figgm|dfrac{overrightarrow {FP}cdotoverrightarrow {FM}}{|overrightarrow {FP}|}=dfrac{overrightarrow {FQ}cdotoverrightarrow {FM}}{|overrightarrow {FQ}|} ight}. $$ 当 $ F_1,F_2in A $ 时，若对于任意的 $ mgeqslant 3 $ ,不等式 $ |overrightarrow {F_1F_2}|leqslant k|overrightarrow {PQ}| $ 恒成立，则实数 $ k $ 的最小值为 $underline{hspace{2cm}}$.
解析由题意 $ M $ 在线段 $ PQ $ 上，且 $ PM:MQ=m:1 $ , 由向量的投影公式易得 $ FM $ 是 $ riangle PFQ $ 的内角 $ angle PFQ $ 的平方线，由角平方线定理可得 $$ dfrac{FP}{FQ}=dfrac{PM}{MQ}=m $$ 所以动点 $ F $ 到定点 $ P $ 与定点 $ Q $ 的距离之比为常数 $ m $ ,其轨迹为阿波罗尼斯圆. 不妨设 $ MQ=1 $ ,则 $ PM=m $ ,易得该圆的直径 $$ 2r=left( m+1 ight)left( dfrac{1}{m-1}+dfrac{1}{m+1} ight) $$ 因为 $ |overrightarrow {F_1F_2}|_{max}=2r $ ,所以 $$ 2rleqslant kleft( m+1 ight) $$ 即 $$ kgeqslant dfrac{1}{m-1}+dfrac{1}{m+1} $$ 因为 $ mgeqslant 3 $ ,所以 $ fleft( m ight)= dfrac{1}{m-1}+dfrac{1}{m+1} $ 单调递减，所以 $$ fleft( m ight)_{max}=fleft( 3 ight)=dfrac{3}{4} $$ 所以 $ k $ 的最小值为 $ dfrac{3}{4} $ .
阿波罗尼斯圆到两定点距离之比为常数(不为 $ 1 $ 到点的轨迹为圆,这个圆叫阿波罗尼斯圆.若 $ A,B $ 为两个定点,且 $ |PA|=lambda|PB|left( lambda eq1 ight) $ ,设 $ overrightarrow {AM}=lambdaoverrightarrow {MB} $ ,且 $ overrightarrow {AN}=-lambdaoverrightarrow {NB} $ ,则 $$ overrightarrow {PM}=dfrac{overrightarrow {PA}+lambdaoverrightarrow {PB}}{1+lambda},qquad overrightarrow {PN}=dfrac{overrightarrow {PA}-lambdaoverrightarrow {PB}}{1-lambda} $$ 则 $ P $ 的轨迹是以 $ MN $ 为直径的圆,证明如下 $$ |overrightarrow {PA}|^2=lambda^2|overrightarrow {PB}|^2 Longleftrightarrow left( overrightarrow {PA}+lambdaoverrightarrow {PB} ight)cdotleft( overrightarrow {PA}-lambdaoverrightarrow {PB} ight)=0 Longleftrightarrow dfrac{overrightarrow {PA}+lambdaoverrightarrow {PB}}{1+lambda}cdotdfrac{overrightarrow {PA}-lambdaoverrightarrow {PB}}{1-lambda}=0 $$ 即 $$ overrightarrow {PM}cdotoverrightarrow {PN}=0 $$ 所以 $ P $ 的轨迹是以 $ MN $ 为直径的圆.(也可以用平面几何三角形角平分线定理证明)若 $ |AB|=a,|PA|=lambda|PB|left( lambda>1 ight) $ ,易得阿波罗尼斯圆的直径 $$ 2r=aleft( dfrac{1}{lambda-1}+dfrac{1}{lambda+1} ight). $$ 。
