12.5 函数的幂级数展开式的应用

 

12.5 函数的幂级数展开式的应用 第十二章 无穷级数 第五节 函数的幂级数展开式的应用

一、近似计算

有了函数的幂级数展开式，就可以用它来进行近似计算，即在展开式有效的区间上，函数值可以近似地利用这个级数按精确度要求计算出来。

例1：计算 240sqrt{240}240​ 的近似值，要求误差不超过 0.0001

解答：

因为

取 m=12m = frac{1}{2}m=21​，x=−3243=−181x = -frac{3}{243} = -frac{1}{81}x=−2433​=−811​

所以在二项展开式（公式 4-12）中，取

即得

这个级数收敛很快。取前两项的和作为 240sqrt{240}240​ 的近似值，其误差（也叫做截断误差）为

于是取近似式为

为了使“四舍五入”引起的误差（叫做舍入误差）与截断误差之和不超过 10−410^{-4}10−4，计算时应取五位小数，然后再四舍五入。因此最后得

学习收获：

通过这个例题，蜜桃成人网站入口学会了如何利用幂级数展开进行近似计算，并理解了截断误差和舍入误差的概念。

解答：

取这级数前 nnn 项的和作为 ln⁡2ln 2ln2 的近似值，其误差为 ∣Rn∣≤1n+1|R_n| leq frac{1}{n+1}∣Rn​∣≤n+11​

为了保证误差不超过 10−410^{-4}10−4，就需要取级数的前 10000 项进行计算。这样做计算量太大了，蜜桃成人网站入口必须用收敛较快的级数来代替它。

把公式（4-10）

中将 xxx 换成 −x-x−x，得

两式相减，得到不含有偶次幂的展开式

令 x=13x = frac{1}{3}x=31​，得

取前四项作为 ln⁡2ln 2ln2 的近似值，其误差为

于是取

考虑到舍入误差，计算时应取五位小数：

因此得

学习收获：

通过这个例题，蜜桃成人网站入口学习了如何通过转换变量和重新组合幂级数来找到更快收敛的级数，进而实现更高效的近似计算。

例3：利用幂级数求 sin⁡9∘sin 9^circsin9∘ 的近似值，并估计误差

解答：

首先把角度化成弧度，

从而

其次估计这个近似值的精确度。在 sin⁡xsin xsinx 的幂级数展开式（公式 4-8）中令 x=π20x = frac{pi}{20}x=20π​，得

等式右端是一个收敛的交错级数，且各项的绝对值单调减少。取它的前两项之和作为 sin⁡π20sin frac{pi}{20}sin20π​ 的近似值，其误差为

因此取

这时误差不超过 10−510^{-5}10−5。

学习收获：

通过这个例题，蜜桃成人网站入口学会了如何利用幂级数展开进行近似计算，并估计误差的大小，保证结果的精度。

解答：

将 ex2e^{x^2}ex2 的幂级数展开式（公式 4-7）中的 xxx 换成 −x2-x^2−x2，就得到被积函数的幂级数展开式

于是，根据幂级数在收敛区间内逐项可积，得

取前四项的和作为近似值，其误差为

算得

学习收获：

通过这个例题，蜜桃成人网站入口学习了如何利用幂级数展开来计算定积分，并理解了通过逐项积分来求解积分的近似值。

解答：

由于

因此所给积分不是反常积分，若定义被积函数在 x=0x = 0x=0 处的值为 1，则它在积分区间 [0,1][0,1][0,1] 上连续。

展开被积函数，有

在区间 [0,1][0,1][0,1] 上逐项积分，得

取前三项的和作为积分的近似值：

学习收获：

通过这个例题，蜜桃成人网站入口学习了如何利用幂级数展开计算反常积分的近似值，并理解了逐项积分的技巧。

总结

通过这些例题的详细解析，蜜桃成人网站入口不仅掌握了函数幂级数展开式在近似计算中的应用，还学到了如何估计计算误差，保证结果的精度。这些数学思想和技巧在实际问题的解决中有着广泛的应用，希望大家能通过这些例题的分析更好地理解和掌握幂级数展开的应用。

 

 

二、微分方程的幂级数解法

这里，蜜桃成人网站入口简单介绍一阶微分方程和二阶齐次线性微分方程的幂级数解法。

一阶微分方程

为求一阶微分方程 满足初值条件 y(x0)=y0y(x_0) = y_0y(x0​)=y0​ 的特解，如果其中函数 f(x,y)f(x, y)f(x,y) 是 (x−x0)(x - x_0)(x−x0​)、(y−y0)(y - y_0)(y−y0​) 的多项式那么可以设所求特解可展开为 x−x0x - x_0x−x0​ 的幂级数：

其中 a1,a2,…,an,…a_1, a_2, ldots, a_n, ldotsa1​,a2​,…,an​,… 是待定的系数。把（公式 5-2）代入（公式 5-1）中，便得一恒等式，比较所得恒等式两端 x−x0x - x_0x−x0​ 的同次幂的系数，就可定出常数 a1,a2,…a_1, a_2, ldotsa1​,a2​,…，以这些常数为系数的级数（公式 5-2）在其收敛区间内就是方程（公式 5-1）满足初值条件 y(x0)=y0y(x_0) = y_0y(x0​)=y0​ 的特解。

例6 求方程 dydx=−y−xfrac{dy}{dx} = -y - xdxdy​=−y−x 满足 y(0)=2y(0) = 2y(0)=2 的特解。

解答：

这时，x0=0,y0=2x_0 = 0, y_0 = 2x0​=0,y0​=2。故设方程的特解为

由此，得

将 yyy 及其导数的幂级数展开式代入方程，得

上式为恒等式，比较上式两端 xxx 的同次幂的系数，得：

由数学归纳法可得：

于是，得

这就是所求的特解。

二阶齐次线性微分方程

关于二阶齐次线性方程

用幂级数求解的问题，蜜桃成人网站入口先叙述一个定理：

定理： 如果方程（公式 5-3）中的系数 P(x)P(x)P(x) 与 Q(x)Q(x)Q(x) 可在 −R